## Thursday, October 22, 2015

### Every Number Has a Story to Tell - 12,345,654,321

10/22/2015

Every Number Has a Story to Tell:

Today’s story is about the number 12,345,654,321.

12,345,654,321 has 243 divisors, whose sum is σ = 25,375,524,993.  It is divisible by: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 21, 33, 37, 39, 49, 63, 77, 91, 99, 111, 117, 121, 143, 147, 169, 231, 259, 273, 333, 363, 407, 429, 441, 481, 507, 539, 637, 693, 777, 819, 847, 1001, 1089, 1183, 1221, 1287, 1369, 1443, 1521, 1573, 1617, 1813, 1859, 1911, 2331, 2541, 2849, 3003, 3367, 3549, 3663, 4107, 4329, 4477, 4719, 4851, 5291, 5439, 5577, 5733, 5929, 6253, 7007, 7623, 8281, 8547, 9009, 9583, 10101, 10647, 11011, 12321, 13013, 13431, 14157, 15059, 15873, 16317, 16731, 17787, 17797, 18759, 19943, 20449, 21021, 23569, 24843, 25641, 28749, 30303, 31339, 33033, 37037, 39039, 40293, 43771, 45177, 47619, 53361, 53391, 56277, 58201, 59829, 61347, 63063, 67081, 68783, 70707, 74529, 77077, 86247, 91091, 94017, 99099, 105413, 111111, 117117, 124579, 131313, 135531, 143143, 160173, 165649, 174603, 179487, 184041, 195767, 201243, 206349, 212121, 219373, 231231, 231361, 259259, 273273, 282051, 306397, 316239, 333333, 373737, 393939, 407407, 429429, 481481, 496947, 523809, 587301, 603729, 619047, 658119, 693693, 694083, 737891, 756613, 777777, 819819, 872053, 919191, 948717, 1002001, 1121211, 1159543, 1222221, 1288287, 1370369, 1444443, 1490841, 1619527, 1761903, 1974357, 2082249, 2153437, 2213673, 2269839, 2333331, 2544971, 2616159, 2757573, 2851849, 3006003, 3370367, 3478629, 3666663, 4111107, 4333329, 4858581, 5296291, 6460311, 6641019, 6809517, 7634913, 7848477, 8116801, 8555547, 9018009, 9592583, 10111101, 10435887, 11336689, 12333321, 14575743, 15074059, 15888873, 17814797, 19380933, 22904739, 24350403, 25666641, 27994681, 28777749, 30333303, 34010067, 37074037, 45222177, 47666619, 53444391, 73051209, 83984043, 86333247, 102030201, 105518413, 111222111, 124703579, 135666531, 160333173, 195962767, 251952129, 316555239, 333666333, 374110737, 587888301, 949665717, 1122332211, 1371739369, 1763664903, 4115218107, and 12345654321.
Its totient is φ = 5,759,994,240.  The sum of its prime factors is 142 (or 71 counting only the distinct ones).
The product of its digits is 86,400, while the sum of its digits is 36 (which is a perfect square).
The string “12345654321” is not found in the first 200 million digits of pi.
It can be written as a sum of positive squares in 4 ways, for example, as 51,279,921 + 12,294,374,400 = 7,1612 + 110,8802 .
12,345,654,321 is a “hidden beast” number, since 1 + 2 + 34 + 565 + 43 + 21 = 666.
12,345,654,321 is a Giza number because its digits increase by one up to the middle digit, and then decrease by one to the end – resembling the pyramids in Giza.
12,345,654,321 is an esthetic number in base 10, because in such base it adjacent digits differ by 1.
It is a super-2 number, since 2 × 12,345,654,3212 (a number of 21 digits) contains 22 as substring.
It is an alternating number because its digits alternate between odd and even.
It is a Wonderful Demlo number, and a Curzon number.
It is not an unprimeable number, because it can be changed into a prime (12,345,654,311) by changing a digit.
12,345,654,321 is a polite number, since it can be written in 242 ways as a sum of consecutive naturals, for example, 333,666,315 + ... + 333,666,351.
12,345,654,321 is an evil number, because the sum of its binary digits is even.
Almost surely, 212345654321 is an apocalyptic number.
12,345,654,321 is the 111,111st square number.  It is also a palindromic number whose square root is also a palindromic number.  12,345,654,321 can also be expressed as the product five perfect squares: 12,345,654,321 = 111,1112 = 32 * 72 * 112 * 132 * 372
12,345,654,321 is the 55,556-th centered octagonal number.
12,345,654,321 is an amenable number.
12,345,654,321 is an abundant number, since it is smaller than the sum of its proper divisors (13,029,870,672).
12,345,654,321 is a wasteful number, since it uses less digits than its factorization.
12,345,654,321 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 +2 + 1) = 444,443,555,556 = 666,6662.
But, until recently nobody knew about this one:
 The reciprocal of 12,345,654,321 knows the 81 times table 1/12345654321 = 0. 000000  000081  000162  000243  000324  000405  000486  000567  000648  000729  000810  000891  000972  001053  001134  001215  001296  001377  001458  001539  001620  001701  001782  001863  001944  002025  002106  002187  002268  002349  002430  002511  002592  002673  002754  002835  002916  002997  003078  003159  003240  003321  003402  003483  003564  003645  003726  003807  003888  003969  004050  004131  004212  004293  004374  004455  004536  004617  004698  004779  004860  004941  005022  005103  005184  005265  005346  005427  005508  005589  005670  005751  005832  005913  005994  006075  006156  006237  006318  006399  006480  006561  006642  006723  006804  006885  006966  007047  007128  007209  007290  007371  007452  007533  007614  007695  007776  007857  007938  008019  008100  008181  008262  008343  008424  008505  008586  008667  008748  008829  008910  008991  009072  009153  009234  009315  009396  009477  009558  009639  009720  009801  009882  009963  010044  010125  010206  010287  010368  010449  010530  010611  010692  010773  010854  010935  011016  011097  011178  011259  011340  011421  011502  011583  011664  011745  011826  011907  011988  012069  012150  012231  012312  012393  012474  012555  012636  012717  012798  012879  012960  013041  013122  013203  013284  013365  013446  013527  013608  013689  013770  013851  013932  014013  014094  014175  014256  014337  014418  014499  014580  014661  014742  014823  014904  014985  015066  015147  015228  015309  015390  015471  015552  015633  015714  015795  015876  015957  016038  016119  016200  016281  016362  016443  016524  016605  016686  016767  016848  016929  017010  017091  017172  017253  017334  017415  017496  017577  017658  017739  017820  017901  017982  018063  018144  018225  018306  018387  018468  018549  018630  018711  018792  018873  018954  019035  019116  019197  019278  019359  019440  019521  019602  019683  019764  019845  019926  020007  020088  020169  020250  020331  020412  020493  020574  020655  020736  020817  020898  020979  021060  021141  021222  021303  021384  021465  021546  021627  021708  021789  021870  021951  022032  022113  022194  022275  022356  022437  022518  022599  022680  022761  022842  022923  023004  023085  023166  023247  023328  023409  023490  023571  023652  023733  023814  023895  023976  024057  024138  024219  024300  024381  024462  024543  024624  024705  024786  024867  024948  025029  025110  025191  025272  025353  025434  025515  025596  025677  025758  025839  025920  026001  026082  026163  026244  026325  026406  026487  026568  026649  026730  026811  026892  026973  027054  027135  027216  027297  027378  027459  027540  027621  027702  027783  027864  027945  028026  028107  028188  028269  028350  028431  028512  028593  028674  028755  028836  028917  028998  029079  029160  029241  029322  029403  029484  029565  029646  029727  029808  029889  029970  030051  030132  030213  030294  030375  030456  030537  030618  030699  030780  030861  030942  031023  031104  031185  031266  031347  031428  031509  031590  031671  031752  031833  031914  031995  032076  032157  032238  032319  032400  032481  032562  032643  032724  032805  032886  032967  033048  033129  033210  033291  033372  033453  033534  033615  033696  033777  033858  033939  034020  034101  034182  034263  034344  034425  034506  034587  034668  034749  034830  034911  034992  035073  035154  035235  035316  035397  035478  035559  035640  035721  035802  035883  035964  036045  036126  036207  036288  036369  036450  036531  036612  036693  036774  036855  036936  037017  037098  037179  037260  037341  037422  037503  037584  037665  037746  037827  037908  037989  038070  038151  038232  038313  038394  038475  038556  038637  038718  038799  038880  038961  039042  039123  039204  039285  039366  039447  039528  039609  039690  039771  039852  039933  040014  040095  040176  040257  040338  040419  040500  040581  040662  040743  040824  040905  040986  041067  041148  041229  041310  041391  041472  041553  041634  041715  041796  041877  041958  042039  042120  042201  042282  042363  042444  042525  042606  042687  042768  042849  042930  043011  043092  043173  043254  043335  043416  043497  043578  043659  043740  043821  043902  043983  044064  044145  044226  044307  044388  044469  044550  044631  044712  044793  044874  044955  045036  045117  045198  045279  045360  045441  045522  045603  045684  045765  045846  045927  046008  046089  046170  046251  046332  046413  046494  046575  046656  046737  046818  046899  046980  047061  047142  047223  047304  047385  047466  047547  047628  047709  047790  047871  047952  048033  048114  048195  048276  048357  048438  048519  048600  048681  048762  048843  048924  049005  049086  049167  049248  049329  049410  049491  049572  049653  049734  049815  049896  049977  050058  050139  050220  050301  050382  050463  050544  050625  050706  050787  050868  050949  051030  051111  051192  051273  051354  051435  051516  051597  051678  051759  051840  051921  052002  052083  052164  052245  052326  052407  052488  052569  052650  ... Terms are written in six digit strings. Terms are accurate to the 650th non-zero term. This is the limit of my calculation abilities – about 3900 digits.  However, I have reason to believe that this sequence continues up to 999,864 before making an error. This is a repeating fraction with a period of 222,222 (which is twice the square root of 12,345,654,321). This sequence is not listed in the OEIS collection.
Now you know things that Newton, Gauss, Ramanujan, Hardy, Euler, and Einstein did not know.  It’s kind of cool isn’t it?

David