## Sunday, August 9, 2015

### Farey Fractions and Funny Farey Fraction Addition

8/09/2015

8,092,015 is a 19,933-gonal and 809,203-gonal number.

Farey Fractions and Funy Farey Fraction Addition:
The 775 fractions in the box below are “Farey Fractions”:
They are all fractions between zero and one, written in numeric order (smallest to largest), and written in simplest form.
The numerators and denominators are all integers between zero and 50.
They have an interesting property: if you choose any three consecutive fractions, and you “Farey add” the first and last fraction of the three, you will get the middle fraction (though you may have to simplify the fraction).
Instead of adding fractions the normal way we usually do, we add them the way we would add them if we did not know how to add fractions.  (It's funny but it works.) In this case we add the denominators together to become the denominator of the answer, and we add the numerators together to get the numerator of the answer.  (I will note Farey addition by “+F”.)
Examples:
You see the three fractions highlighted in yellow – 1/18, 2/35, and 1/17?  Take the first fraction and the third fraction and “Farey Add” them: 1/18 +F 1/17 = (1 + 1)/(18 + 17) = 2/35.
The numbers highlighted in blue are 5/41, 6/49, 1/8: 5/49 +F 1/8 = (5 + 1)/(41 + 8) = 6/49.
The numbers highlighted in green are 9/38, 5/21, and 11/46.  9/38 +F 11/46 = (9 + 11)/(38 + 46) = 20/84, which simplifies to 5/21.
 0/1,  1/50,  1/49,  1/48,  1/47,  1/46,  1/45,  1/44,  1/43,  1/42,  1/41,  1/40,  1/39,  1/38,  1/37,  1/36,  1/35,  1/34,  1/33,  1/32,  1/31,  1/30,  1/29,  1/28,  1/27,  1/26,  1/25,  2/49,  1/24,  2/47,  1/23,  2/45,  1/22,  2/43,  1/21,  2/41,  1/20,  2/39,  1/19,  2/37,  1/18,  2/35,  1/17,  3/50,  2/33,  3/49,  1/16,  3/47,  2/31,  3/46,  1/15,  3/44,  2/29,  3/43,  1/14,  3/41,  2/27,  3/40,  1/13,  3/38,  2/25,  3/37,  4/49,  1/12,  4/47,  3/35,  2/23,  3/34,  4/45,  1/11,  4/43,  3/32,  2/21,  3/31,  4/41,  1/10,  5/49,  4/39,  3/29,  5/48,  2/19,  5/47,  3/28,  4/37,  5/46,  1/9,  5/44,  4/35,  3/26,  5/43,  2/17,  5/42,  3/25,  4/33,  5/41,  6/49,  1/8,  6/47,  5/39,  4/31,  3/23,  5/38,  2/15,  5/37,  3/22,  4/29,  5/36,  6/43,  7/50,  1/7,  7/48,  6/41,  5/34,  4/27,  7/47,  3/20,  5/33,  7/46,  2/13,  7/45,  5/32,  3/19,  7/44,  4/25,  5/31,  6/37,  7/43,  8/49,  1/6,  8/47,  7/41,  6/35,  5/29,  4/23,  7/40,  3/17,  8/45,  5/28,  7/39,  9/50,  2/11,  9/49,  7/38,  5/27,  8/43,  3/16,  7/37,  4/21,  9/47,  5/26,  6/31,  7/36,  8/41,  9/46,  1/5,  10/49,  9/44,  8/39,  7/34,  6/29,  5/24,  9/43,  4/19,  7/33,  10/47,  3/14,  8/37,  5/23,  7/32,  9/41,  11/50,  2/9,  11/49,  9/40,  7/31,  5/22,  8/35,  11/48,  3/13,  10/43,  7/30,  11/47,  4/17,  9/38,  5/21,  11/46,  6/25,  7/29,  8/33,  9/37,  10/41,  11/45,  12/49,  1/4,  12/47,  11/43,  10/39,  9/35,  8/31,  7/27,  13/50,  6/23,  11/42,  5/19,  9/34,  13/49,  4/15,  11/41,  7/26,  10/37,  13/48,  3/11,  11/40,  8/29,  13/47,  5/18,  12/43,  7/25,  9/32,  11/39,  13/46,  2/7,  13/45,  11/38,  9/31,  7/24,  12/41,  5/17,  13/44,  8/27,  11/37,  14/47,  3/10,  13/43,  10/33,  7/23,  11/36,  15/49,  4/13,  13/42,  9/29,  14/45,  5/16,  11/35,  6/19,  13/41,  7/22,  15/47,  8/25,  9/28,  10/31,  11/34,  12/37,  13/40,  14/43,  15/46,  16/49,  1/3,  17/50,  16/47,  15/44,  14/41,  13/38,  12/35,  11/32,  10/29,  9/26,  17/49,  8/23,  15/43,  7/20,  13/37,  6/17,  17/48,  11/31,  16/45,  5/14,  14/39,  9/25,  13/36,  17/47,  4/11,  15/41,  11/30,  18/49,  7/19,  17/46,  10/27,  13/35,  16/43,  3/8,  17/45,  14/37,  11/29,  19/50,  8/21,  13/34,  18/47,  5/13,  17/44,  12/31,  19/49,  7/18,  16/41,  9/23,  11/28,  13/33,  15/38,  17/43,  19/48,  2/5,  19/47,  17/42,  15/37,  13/32,  11/27,  20/49,  9/22,  16/39,  7/17,  19/46,  12/29,  17/41,  5/12,  18/43,  13/31,  21/50,  8/19,  19/45,  11/26,  14/33,  17/40,  20/47,  3/7,  19/44,  16/37,  13/30,  10/23,  17/39,  7/16,  18/41,  11/25,  15/34,  19/43,  4/9,  21/47,  17/38,  13/29,  22/49,  9/20,  14/31,  19/42,  5/11,  21/46,  16/35,  11/24,  17/37,  23/50,  6/13,  19/41,  13/28,  20/43,  7/15,  22/47,  15/32,  23/49,  8/17,  17/36,  9/19,  19/40,  10/21,  21/44,  11/23,  23/48,  12/25,  13/27,  14/29,  15/31,  16/33,  17/35,  18/37,  19/39,  20/41,  21/43,  22/45,  23/47,  24/49,  1/2,  25/49,  24/47,  23/45,  22/43,  21/41,  20/39,  19/37,  18/35,  17/33,  16/31,  15/29,  14/27,  13/25,  25/48,  12/23,  23/44,  11/21,  21/40,  10/19,  19/36,  9/17,  26/49,  17/32,  25/47,  8/15,  23/43,  15/28,  22/41,  7/13,  27/50,  20/37,  13/24,  19/35,  25/46,  6/11,  23/42,  17/31,  11/20,  27/49,  16/29,  21/38,  26/47,  5/9,  24/43,  19/34,  14/25,  23/41,  9/16,  22/39,  13/23,  17/30,  21/37,  25/44,  4/7,  27/47,  23/40,  19/33,  15/26,  26/45,  11/19,  29/50,  18/31,  25/43,  7/12,  24/41,  17/29,  27/46,  10/17,  23/39,  13/22,  29/49,  16/27,  19/32,  22/37,  25/42,  28/47,  3/5,  29/48,  26/43,  23/38,  20/33,  17/28,  14/23,  25/41,  11/18,  30/49,  19/31,  27/44,  8/13,  29/47,  21/34,  13/21,  31/50,  18/29,  23/37,  28/45,  5/8,  27/43,  22/35,  17/27,  29/46,  12/19,  31/49,  19/30,  26/41,  7/11,  30/47,  23/36,  16/25,  25/39,  9/14,  29/45,  20/31,  31/48,  11/17,  24/37,  13/20,  28/43,  15/23,  32/49,  17/26,  19/29,  21/32,  23/35,  25/38,  27/41,  29/44,  31/47,  33/50,  2/3,  33/49,  31/46,  29/43,  27/40,  25/37,  23/34,  21/31,  19/28,  17/25,  32/47,  15/22,  28/41,  13/19,  24/35,  11/16,  31/45,  20/29,  29/42,  9/13,  34/49,  25/36,  16/23,  23/33,  30/43,  7/10,  33/47,  26/37,  19/27,  31/44,  12/17,  29/41,  17/24,  22/31,  27/38,  32/45,  5/7,  33/46,  28/39,  23/32,  18/25,  31/43,  13/18,  34/47,  21/29,  29/40,  8/11,  35/48,  27/37,  19/26,  30/41,  11/15,  36/49,  25/34,  14/19,  31/42,  17/23,  37/50,  20/27,  23/31,  26/35,  29/39,  32/43,  35/47,  3/4,  37/49,  34/45,  31/41,  28/37,  25/33,  22/29,  19/25,  35/46,  16/21,  29/38,  13/17,  36/47,  23/30,  33/43,  10/13,  37/48,  27/35,  17/22,  24/31,  31/40,  38/49,  7/9,  39/50,  32/41,  25/32,  18/23,  29/37,  11/14,  37/47,  26/33,  15/19,  34/43,  19/24,  23/29,  27/34,  31/39,  35/44,  39/49,  4/5,  37/46,  33/41,  29/36,  25/31,  21/26,  38/47,  17/21,  30/37,  13/16,  35/43,  22/27,  31/38,  40/49,  9/11,  41/50,  32/39,  23/28,  37/45,  14/17,  33/40,  19/23,  24/29,  29/35,  34/41,  39/47,  5/6,  41/49,  36/43,  31/37,  26/31,  21/25,  37/44,  16/19,  27/32,  38/45,  11/13,  39/46,  28/33,  17/20,  40/47,  23/27,  29/34,  35/41,  41/48,  6/7,  43/50,  37/43,  31/36,  25/29,  19/22,  32/37,  13/15,  33/38,  20/23,  27/31,  34/39,  41/47,  7/8,  43/49,  36/41,  29/33,  22/25,  37/42,  15/17,  38/43,  23/26,  31/35,  39/44,  8/9,  41/46,  33/37,  25/28,  42/47,  17/19,  43/48,  26/29,  35/39,  44/49,  9/10,  37/41,  28/31,  19/21,  29/32,  39/43,  10/11,  41/45,  31/34,  21/23,  32/35,  43/47,  11/12,  45/49,  34/37,  23/25,  35/38,  12/13,  37/40,  25/27,  38/41,  13/14,  40/43,  27/29,  41/44,  14/15,  43/46,  29/31,  44/47,  15/16,  46/49,  31/33,  47/50,  16/17,  33/35,  17/18,  35/37,  18/19,  37/39,  19/20,  39/41,  20/21,  41/43,  21/22,  43/45,  22/23,  45/47,  23/24,  47/49,  24/25,  25/26,  26/27,  27/28,  28/29,  29/30,  30/31,  31/32,  32/33,  33/34,  34/35,  35/36,  36/37,  37/38,  38/39,  39/40,  40/41,  41/42,  42/43,  43/44,  44/45,  45/46,  46/47,  47/48,  48/49,  49/50,  1/1

Sources:

David

#### 1 comment:

1. For two consecutive fractions in the sequence a/b and c/d, cross multiplying them gives consecutive numbers, i.e. ad=bc-1.